Energieauflösung elektromagnetischer Schauer

Bevor wir uns den Kalorimetern zuwenden und etwas über die Energieauflösung von Schauern lernen, vielleicht hier eine kurze Zusammenfassung, wie ein Teilchendetektor bei Collider-Experimenten aufgebaut sind (Möglicherweise gibt es dazu demnächst auch noch einen eigenen Artikel):

Vom Strahlrohr ausgehend ist der typische Aufbau:

  • ATLAS_wedgeSpurdetektoren

Hier wird die Spur und der Impuls geladener Teilchen mit Hilfe von Treffern in Siliziumdetektoren (Pixel oder Streifen) bestimmt. Durch den Ablenkmagnet hinter dem elektromagnetischen Kalorimeter kann außerdem die Ladung des Teilchens bestimmt werden.

  • Elektromagnetisches Kalorimeter (+ Magnet für Spurdetektor)

In diesem Teil des Detektors wird die Energie von Elektronen und Photonen gemessen. Man würde im Prinzip erwarten, dass man hier auch Muonen nachweisen kann, allerdings bilden diese aufgrund ihrer hohen Masse (ca. 200-fache Elektronenmasse) kaum Schauer aus.

  • Hadronisches Kalorimeter

Hochenergetische Hadronen bilden in Materie einen sogenannten hadronischen Schauer aus. Dieser ist Vergleichbar mit einem elektromagnetischen Schauer, allerdings sind hadronische Schauer wesentlich länger und breiter als elektromagnetische, da erstere durch die sogenannte Wechselwirkungslänge \lambda und letzere durch die Strahlungslänge X_0 charakterisiert werden, die sich bei einem typischen Absorbermaterial (Eisen) schon mal um den Faktor 10 unterscheiden können: X_0=1.76cm, \lambda=16.7cm.

  • Muonkammern

Da wie oben erwähnt Muonen kaum elektromagnetische Schauer verusrsachen und auch nicht stark wechselwirken durchdringen sie beide Kalorimeterschichten. Sie verlieren ihre Energie praktisch nur durch Ionisations- und Anregungsprozesse in den äußeren Muonenkammern, in denen sie Spuren hinterlassen.

Soviel als kurze Gedächtnisstütze.

In einem vereinfachten Modell können wir annehmen, dass ein in das Kalorimeter eintretende Photon mit der Energie E im Mittel nach einer Strahlungslänge X_0 ein ein Elektron-Positron Paar zerfällt, wobei Elektron und Positron jeweils die Energie E/2 besitzen. Offensichtlich ist bereits das nicht ganz richtig, die Strahlungslänge ist ja eine Art Mittelwert und deswegen wird natürlich nicht jedes Photon nach dieser Weglänge zerfallen. Nun gut, nehmen wir es trotzdem mal an. Nach einer weiteren Strahlungslänge haben das Elektron und das Positron jeweils ein Photon abgestrahlt, so dass deren Energie und die Energien der neuen Photonen E/4 beträgt. Das geht jetzt so lange gut, bis die Energie aller Teilchen unter eine Schwelle E_c gefallen ist (ab dieser Schwelle, ca. 80 MeV, entstehen die Energieverluste der Elektronen/Positronen hauptsächlich durch Ionisation der Atome ohne die Erzeugung hochenergetischer Photonen). Nehmen wir an, dass passiert nach n_{max} Strahlungslängen, dann gilt:

E_c = \frac{E}{2^{n_{max}}}

Daraus lässt sich die Tiefe des Schauers in Strahlungslängen bestimmen:

n_{max} = \frac{\ln(E/E_c)}{\ln2}

Cool. Falls ich mal ein Kalorimeter bauen will, komme ich bestimmt darauf zurück.

Die Zahl der Teilchen im Schauer ist im wesentlichen Proportional zur Energie des Schauers und – das ist der Trick – proportional zu der Zahl n_p der erzeugten Elektron-Positron Paare im Kalorimeter. Aus der letzteren Zahl wird, über die konvertierten Photonen, die Energie des Schauers vermessen und da es sich um eine Zählrate handelt, ist deren relativer Fehler:

\frac{\sigma(n_p)}{n_p} \propto \frac{1}{\sqrt{n_p}}

Durch die Proportionalität E\propto n_p folgt:

\frac{\sigma(E)}{E} \propto \frac{1}{\sqrt{E}}.

Im allgemeinen (will heißen: bei einem komplizierteren Schauermodell) ist das natürlich alles etwas komplizierter, aber immerhin bleibt die 1/\sqrt{E} Abhängigkeit in der Regel bestehen. Dieser Term is im Energiebereich von 10-100 GeV dominant.

Zusätzlich kommen noch zwei Terme hinzu, die die Auflösung einschränken: Ein sogenannter Rausch-Term \propto \frac{1}{E} und ein konstanter Term. Der Rauschterm beschreibt – wie der Name schon sagt – den Einfluss von elektronischem Rauschen sowie Signal-pileup. Er ist dominant bei niedrigen Energien. Der konstante Term beschreibt im Prinzip die „Unebenheiten“ des Detektors (Cracks, Totes Material, Tiefe) und dominiert bei hohen Energien.

Insgesamt ergibt sich also für das Auflösungsvermögen von Kalorimetern:

\frac{\sigma(E)}{E} \propto \frac{a}{E} + \frac{b}{\sqrt{E}} + c.